陈大妈居住在某小区 2012年10月的某天下午晚饭后 陈大妈在小区活动区域内进行锻炼 广场周围有几

陈大妈居住在某小区，2012年10月的某天下午晚饭后，陈大妈在小区活动区域内进行锻炼，广场周围有几株粗大的老杨树。寒冬已至，树叶已落，枯枝清晰可见。突然，一阵旋风刮来，枯枝纷纷坠落，来不及躲闪的陈大妈被一根较粗的枯枝砸倒在地。闻讯赶来的保安员把陈大妈送到医院。

问题：

1.请问物业服务企业对小区内老杨树是否有管理义务？如果没有管理义务，说明为什么？

2.物业服务企业对小区内老杨树是否有管理义务，其基本要求有哪些？

3.对于此案的树木致人受伤，物业服务企业是否应该承担赔偿责任？